Inicio » 2012 » julio

Monthly Archives: julio 2012

La situación actual de la física teórica.

Newton publicó “Principios matemáticos de la filosofía natural” en 1687. El éxito y el reconocimiento fue inmediato, tanto así que para 1689 ya era miembro del parlamento.

La primera teoría de la relatividad de Einstein fue publicada en 1905 y la segunda en 1915. En 1919 con la observación de un eclipse solar confirmaron la teoría. Pasaron 14 años desde la primera teoría.

En 1922 Alexander Friedman y en 1927 el sacerdote católico Georges Lemaitre dedujeron a partir de las ecuaciones de Einstein que el universo estaba en expansión y desarrollaron la teoría del Big Bang. La teoría fue demostrada apenas dos años después por Edwin Hubble con su telescopio.

La teoría del modelo estándar de la física de partículas fue desarrollada entre 1960 y 1967. Un acelerador de partículas confirmó la teoría en 1973. En 1979 los desarrolladores de la teoría ganaron el premio Nobel. La partícula Higgs descubierta recientemente es una pieza de la teoría del modelo estándar, la ultima pieza que faltaba por encontrar.

 

El modelo Estándar es la teoría que explica las interacciones de las partículas a nivel atómico o de los cuerpos pequeños, como los quarks, leptones, fotones, electrones; mientras que la teoría de la relatividad explica la interacción de los cuerpos grandes, como la pelota lanzada en el estadio o el movimiento de los planetas. Lo siguiente que debía venir era una teoría que armonizara el modelo estándar con la relatividad, porque se suponía que debía haber una sola ley que explicara todo, es decir, los cuerpos pequeños deberían interaccionar entre si igual que como lo hacen los cuerpos grandes, pero la sorpresa fue que no fue así, hay una contradicción.

Entonces se propuso la teoría de cuerdas para explicar esta discrepancia. La teoría fue desarrollada entre 1968 y 1974 (hace más de 40 años), luego vino la teoría de las “supercuerdas” en 1984 (hace casi 30 años), siendo un éxito inmediato de ventas. Desde allá para acá ha sido un campo estudiado por la mayoría de los investigadores físicos teóricos.

Las cuerdas es la única teoría que existe para armonizar la teoría de la relatividad con el modelo estándar de la física quántica, pero el hecho es que está empantanada. Han pasado casi 40 años desde aquel entonces, sin embargo, no se ha podido comprobar una sola cosa de la teoría y no se ve nada en el horizonte que pueda hacerlo (la posible detección de antimateria o de otras dimensiones en el CERN no sería demostración de las cuerdas.)

Esta no es la clásica historia de una teoría de un genio solitario a quien todo el mundo creía era un loco y descabellado y que luego fue reivindicado. Desde 1984 la mayoría de la comunidad científica ha estudiado muy seriamente esta teoría.

En 1980 el famoso físico Stephen Hawkings, quien llegó a ser considerado una vez como el hombre más inteligente del mundo, había afirmado que se encontraría la teoría unificadora de la relatividad y física quántica (apostando a las supercuerdas) en 20 años. En el año 2000 Hawkings apostó de nuevo a que se encontraría en 20 años otra vez. Ya vamos por 2012 y ni pista.

 

Shahen Hacyan, en su obra: “Del mundo cuántico al universo en expansión” dice sobre las cuerdas:

“Prácticamente desde que la mecánica cuántica tomó la forma con que se la conoce actualmente muchos físicos intentaron crear una teoría cuántica de la gravitación. A pesar de varios intentos interesantes todavía no se tiene una respuesta convincente. La gravitación cuántica es el gran hueco en la física de las interacciones fundamentales. Incluso algunos se han preguntado si tiene sentido hablar de la gravitación a nivel cuántico: ¿quizás esta fuerza fundamental es incompatible con la mecánica cuántica?, ¿quizás la gravedad es una manifestación de otro fenómeno insospechado…? Todas éstas son dudas aún sin resolver. Mientras, es justo señalar que ha habido varios intentos por cuantizar la gravedad. El más reciente tiene que ver con lo que se conoce como teoría de las supercuerdas, la cual reseñaremos brevemente a continuación.

Las supercuerdas causaron mucho revuelo a mediados de los años ochenta. Algunos físicos muy optimistas anunciaban ya la solución final a todos los problemas de la física teórica. La teoría pretendía describir todas las fuerzas de la naturaleza, desde la fuerza gravitacional que gobierna el movimiento de las estrellas y los planetas hasta las fuerzas nucleares que se manifiestan sólo en los núcleos atómicos, pasando por las fuerzas eléctricas y magnéticas.

Desafortunadamente, a pesar de un inicio muy prometedor la teoría se ha topado con serias dificultades debidas al enorme aparato matemático que necesita, cuya complejidad no permite tener una imagen intuitiva de lo que realmente está pasando. La principal dificultad es que las primeras notas de las supercuerdas corresponden a partículas cuya masa es comparable a la masa de Planck, y quedan, por lo tanto, fuera de toda posibilidad de ser detectadas”.

Es decir, la longitud de las cuerdas serían tan pequeñas, que con los instrumentos que disponemos es imposible observarlas; no se puede ver más allá de partículas puntuales.

 

Sheldon Glashow, premio Nobel de física y quien fue el primero en desarrollar la teoría del modelo estándar, es uno de los escépticos de la teoría de cuerdas.

Dice al respecto:

“No experiment can ever check up what’s going on at the distances that are being studied. No observation can relate to these tiny distances or high energies”.

[…]

The string theorists have a theory that appears to be consistent and is very beautiful, very complex, and I don’t understand it. It gives a quantum theory of gravity that appears to be consistent but doesn’t make any other predictions. That is to say, there ain’t no experiment that could be done nor is there any observation that could be made that would say, “You guys are wrong.” The theory is safe, permanently safe. I ask you, is that a theory of physics or a philosophy?

It does not make predictions that have anything to do with experiments that can be done in the laboratory or with observations that could be made in space or from telescopes.

También critica el concepto de una “teoría del todo”:

What the astronomers have discovered is that most of the matter in the universe is not on our list. It’s something else. And we haven’t the foggiest idea of what it is. It may be some kind of supersymmetric particle. It might be black holes. It might be particles with funny names. But we don’t really know what 99 percent of the matter in the universe is made of. So there’s a coming together here, a big grand coming together.

We are making progress. The theories we have today of life and chemistry and physics are much better than they were ten years ago. And ten years from now they will be better still.

[…]

I don’t know what it means to understand the process of nature perfectly. I don’t know what a theory of everything could be. Is it a series of formulas? How could that be? It doesn’t make any sense. So I would have to say that I simply can’t imagine why any sane person would imagine, discuss, or mention, except insultingly, the concept of a theory of everything. It’s a stupidity. And I believe that my string theorist friends would be among the least likely people to describe their work as a search for a theory of everything.

What we all want is a better theory of the universe, to understand our physical world in greater depth than we presently do. That’s why, although I occasionally pick on the work string theorists do, I describe them as physicists. They are interested in the same problems that I am. They’re approaching those problems in different ways, ways that they regard as somewhat more productive than I do. But they’re not searching for a theory of everything. They’re just trying to create better theories”.

 

Los físicos todavía siguen insistentemente intentado en ella porque sencillamente no se les ha ocurrido ninguna otra teoría posible que pueda unificar el modelo estándar y la relatividad.

Isaac Newton tuvo desde joven una idea brillante cuando le cayó una manzana en la cabeza y se le prendió una chispa, y luego fue desarrollando y comprobando exitosamente su teoría; así mismo Einstein tuvo una idea brillante desde joven y se le prendió una chispa y publicó su teoría de la relatividad con solo 26 años, y luego fue desarrollándola más y comprobándola exitosamente, pero obviamente eso no es lo que está pasando ahora con las supercuerdas.  Peor aun, ahora se sabe que solo un 4.6 % de la materia de nuestro universo esta compuesta por átomos,  y el resto es materia invisible, no se sabe que es, le llaman “materia oscura”.  A todas luces la física está actualmente en un atolladero. Por primera vez en 300 años se ha estancado.

Quizá los físicos necesitarán de otra idea, otra chispa, porque con esta no se puede arrancar. Tal vez, tendremos que esperar otros 200 años hasta que aparezca otra de esas excepcionales mentes como Newton y Einstein, aunque actualmente la población mundial es mas de 7 veces mayor que cuando nació Newton y casi 5 veces mayor que cuando nació Einstein, es decir, que debió haber aparecido uno ya.

Lecturas recomendadas:

Recomiendo altamente leer los comentarios realizados al articulo ¿y si se confirma el Higgs? del blog especializado en fisica Neofronteras, a partir del comentario numero 11, donde se desata una interesante discusion sobre las supercuerdas entre varios fisicos.

Anuncios

How did Eratosthenes measure the circumference of the earth?

(This article is a translation from the original spanish version).

The Greek mathematician Eratosthenes realized that on the day of the summer solstice (June 21) at noon, in the city of Siena (actual Aswan) sunlight casted no shadow on the bottom of a well, but in the city of Alexandria, north of Siena, on the same day at the same time it does casted a shadow on the bottom of a well.

The summer solstice is the longest day of the year and is produced by the tilt of Earth’s axis. At the summer solstice in the northern hemisphere the sun reaches the zenith at noon on the Tropic of Cancer, that is to say, in places located there, on June 21 the sun’s rays fall vertically on the earth, and of course as it is round, in other places fall leaning. The city of Siena is located very near of the Tropic of Cancer.

Observation of Eratosthenes confirmed something that other Greeks already suspected: that the earth was round, as if it were flat, in Alexandria should not cast a shadow over the well, as in Siena. Furthermore, because we can see the curvature in the sky, because the more one travels to the north, stars and constellations look increasingly above, like Polaris; and others that simply disappear into the horizon, as Canopus.

Doing these observations Eratosthenes came up with a brilliant idea. On June 21, at noon in Alexandría, he took a stick and measured the angle of the shadow casted on it and noted that it was one fiftieth of a circle (in those days there were no notions of degrees). The 50th part of a circle (360 degrees) equivalent to 7.2 degrees.

Thus, as the same day at the same hour the sun’s rays fell vertically on Siena casting zero degrees shadows on a vertical, thus between Syene and Alexandria there were a distance of 7.2 degrees or the 50th part of the circumference of the earth. (Eratosthenes assumed that the earth was perfectly circular).

Eratosthenes already knew from the caravans that traded between the two cities, that there was an estimated distance of 5,000 stades between them. Therefore, simply multiplied by 50. This is 250.000 stades. The stade was the Greek unit of length, which varied from one location to another between 157.5 meters to 184.8 meters. The stade used by Eratosthenes was the Italian attic of 184.8 meters. This is 46.200 kms.

In the first graph the mock up is tilted but toward the sun; there is no shadow. In the second graph the mock up was titled but keeping it straight and shadow that occurs in both mock up are the same. In the third and fourth graph the mock up is curved, leaving the first stick into the sun, and we see in the second stick the shadow is long but in the first stick there is no shadow.

                             

We should clarify something before continuing: How did Eratosthenes measure the angle of the shadow casted? Unfortunately the book written by Eratosthenes himself: “On the measurement of the earth”, which would give us details of their discoveries; was lost, as happened with many other writings of antiquity, who did not survive the destruction of the Library of Alexandria (by tsunami, burnings by invaders) of which Eratosthenes was the third director. The Greek astronomer Cleomedes in his book “On the circular motions of the celestial bodies” which is the main original source through which we know of the discovery of Eratosthenes, it only says that he used a gnomon- wich is a vertical rod or stylus that casts a shadow on a horizontal surface- but does not say how did he measure the shadow casted; but from this, there are only two possible ways to do it: The first and the one we all know, is using trigonometric functions. In this case would be finding the value of the tangent, that is to say, the measure of the shadow divided by the measure of the rod (opposite leg divided by leg adjacent), then we took the inverse tangent (tan-1) with the calculator to get the angle of the tangent, and optionally we can convert it to degrees with the button (.,,,) of the Casio. But the complexities and abstractionism of differential and integral calculus were not available at that time.

In my quest to solve this mystery, I discovered or rediscovered a simple but forgotten technique, just using a compass. Eratosthenes would draw to scale on a plane (or on papyrus) the measure of the rod and of the shadow on the floor and draw the hypotenuse, then would tumble the plane for comfort of course, leaving the opposite side to the hypotenuse (or the measure to scale of the gnomon) as a horizontal line and interpose a compass with one side at the vertex that is formed between the hypotenuse and the measure of the gnomon and would draw a circle around it. Then, at the point where the hypotenuse intersects the circumference, is placed one side of the compass and and in the other side of the compass is placed in the point where the circunference drawn touch the horizontal line. We left the compass with the same measure and began measuring on the circumference how many parts of it are equivalent. But, Eratosthenes neither had to use a compass necessarily; any vertical that is rotated around its own axle, form a perfect circle.

I used the software “ruler and compass” to build digital and exactly the circumference and angles. As we can see,  half of the elaborated circumference is divided into 25 equal parts of 7.2 degrees.

 

You can put a transparent protractor or a compass on the screen and check yourself.

Below there are compass of the Graeco-Roman age kept in the British Museum.

 

Now we have a simple gnomon Eratosthenes should have used and then three gnomons used to mark the time (sundials).

                             

 

The measure of the circumference of the earth made by advanced satellites is approximately 40.008 kilometers. Considering the simplicity and rudimentary but ingenious technique used by Eratosthenes, its calculus approximation was amazing. Only erred in 6.192 kms. This is 15%.

 

Now let’s use the powerful technological tools we have today, MapCrow and Google Map, and let’s remake Eratosthenes calculus with exact measurements to see if his reasoning was correct.

 

Latitude is the approximate angular distance between the equator and a given point on the planet. There are there horizontal lines on a map. They are expressed in angular measurements ranging from zero degrees at the equator to 90 degrees at the North Pole or 90 ° of the South Pole. If we draw a straight line running from any point of the earth to the center of it, the angle formed by that straight line and the equatorial plane, expresses the latitude of that point.

Before continuing, there are three assumptions that we must take into account:

1) We assume the earth is perfectly round. A degree of latitude does not measure exactly the same in each place, but varies slightly from 110.57 km at the equator till 111.70 at the poles, so we can not assume that 7 degrees between Alexandria and Syene have the same distance that 7 degrees between Alexandria and some city in Turkey. So our result could never be exactly the same as the made by advanced satellites.

2) If we do the subtraction of lengths (vertical lines of the map) there is a difference of 3 degrees (Eratosthenes assumed they were in the same length).

3) Another small error of Eratosthenes, is that Siena was not located exactly on the line of the Tropic of Cancer (the points where the sun’s rays fall vertically to the earth on June 21). Today is 72 kms (from downtown). But because changes in the earth’s axis fluctuate between 22.1 and 24.5 degrees over a period of 41,000 years; 2000 years ago was located at 41 kms distance-To calculate the coordinates of the Tropic i used the software of neoprogrammics.com and calculated values ​​for the year -200. –

Let’s see:

If we do the subtraction of the latitudes, get an angular distance of 7.1106 or 7 ° 6 ‘ between the two cities. This means that the distance between Alexandria and Aswan is a 50.6286 part of a circle (360 degrees). Eratosthenes got a 50th portion of a circumference which is 7.1997 or 7 ° 12 ‘.

The distance is not 924 kms, but 843 kms. 81 kms less -Air distance till center of cities. –

The corrected calculation of Eratosthenes results in 42, 662 kms. The error is only 6.6% or 2.654 kms.

Eratosthenes reasoning was quite correct. The assumptions he made did not affect the result too much, so it can be considered that were quite valid given constraints of the age.

Now let’s go to Daftlogic.com and calculate the distance between the city of Alexandria and a point on the map where there is the same length of Alexandria (29.9192) and is located exactly on the line of the tropic, that is latitude 23 ° 26 ‘or 23.4377.

 

If we subtract the coordinates of Alexandria and the Tropic of Cancer results in an angular distance of 7.7604, which means a 46.3894 part of a circle and multiplied by 863,876 kms, this results in 40,074. Impressive! Only 66 kms of difference (0.16%) from the calculus nowadays is aproximated for the earth.

If we adjust now the Tropic of Cancer to the position it was in the year -200 BC, then we will find the true measure of the shadow casted by the rod of Eratosthenes in Alexandria on June 21 at noon 2.200 years ago : 7.4815 which is 7 ° 29 ‘. If we trace the measure of 7.4815 in our software that makes 48.1 parts of a circle. 48 parts of a circle multiplied by the 863,876 km distance between Alexandria and the Tropic results in 41.561 kms. So among Eratosthenes mistakes we should add 0.2818 which is 0 ° 17 ‘ degrees of error in measuring the angle of the shadow. This is due to with a pencil, or a fine point, it is impossible to distinguish between 7.0 and 7.2 degrees, and very difficult between 7.0 and 7.5 degrees. It was expected that Eratostenes divisions of the circumference may have a margin of error of up to 4 parts of a circle. He was wrong in two parts, which is not bad considering the instruments.

150 years after Eratosthenes, the Greek mathematician Posidonius used a similar method to the one used by Eratosthenes (also described by Cleomedes in his book), but instead of using the sun as a reference, he used a star called Canopus (the second brightest star in the sky). He realized that in Rodhas, this star was visible just above the horizon, but being in Alexandria that star was upper in the sky. He measured the length of the arc that was drawn between the two positions of the star, probably using an astrolabe, and I guess subtracting angle measurement of the star in the sky of Alexandria less Rhodes sky angle, in order to find the angle distance between Rhodes and Alexandria. But Posidonius measurement was incorrect. He got a distance of 7. 5 ° or 7 ° 30 ‘, when in fact as we see on the map, is only 4.97. His error in measuring the angle should have due to the astrolabe was not very accurate really (worse primitive astrolabes), that’s why it was replaced by the sextant 1500 years later. The distance estimated by Posidonuis between Alexandria and Rodhas results in 72 a part of a circle and not the 48th part it real represents.

If we do calculation with correct data, results in 42.014 kms. Posidonius calculation resulted in 28.968 kilometers (28% error relative to the real circumference of the earth). It was this measurement and not the one of Eratosthenes which Ptolemy used in his famous work “Geography”. Columbus never read Ptolemy, but other authors of his time as Pierre d’Ailly, who based on the calculation of Posidonius used in Geographia, estimated the distance between the Canaries and Cipangu (Japan). But Columbus added another mistake to the matter, assuming that Ailly refered to Italian miles when actually refered to Arab miles (which are longer). Columbus believed that between the Canaries and Cipangu there were some 2,400 nautical miles, when actually there were 10,700. Luckily for him, he founded a continent in the way to Asia.

This error in measuring the circumference of the earth is probably the one has most influenced the history of mankind. If Columbus had known the length of the Earth’s circumference calculated by Eratosthenes, would never have made his journey, since for that age no ship could store enough water and provisions to stay so long at sea, and the discovery of a departure and return route to America would have been delayed perhaps hundreds of years.

 

Other sources:

Eratosthenes of Cyrene

How Long Is a Stade?

On the circular motions of the celestial bodies (Bilingual translation greek-spanish)

Eratosthenes Got the Circumference of the Earth: Physicist Klaus Kohl proposes that Eratosthenes could have ​​used compasses on a scaphe, which was an hemispherical sundial. The reasoning is the same, ie counting how many times the tilt angle fit the circumference, but Kohl did not realized that this can be built in a plane also.

¿Cómo Eratóstenes midió la circunferencia de la tierra hace 2 mil años?

El matemático griego Eratóstenes, se dio cuenta de que en el día del solsticio de verano (21 de junio) al medio día, en la ciudad de Siena (hoy Asuán) la luz del sol no proyectaba ninguna sombra sobre el fondo de un pozo, pero en la ciudad de Alejandría, situada al norte de Siena, en el mismo día y a la misma hora sí se proyectaba una sombra sobre el fondo de un pozo.

El solsticio de verano es el día mas largo del año y es producido por la inclinación del eje de la tierra. En el solsticio de verano del hemisferio Norte el Sol alcanza el cenit al mediodía sobre el Trópico de Cáncer, es decir, que en los lugares situados allí, el 21 de junio los rayos del sol caen verticalmente sobre la tierra, y por supuesto como esta es redonda, en los demás lugares caen inclinadamente. La ciudad de Siena esta ubicada muy cerca de la línea del trópico de cáncer.

La observación de Eratóstenes confirmaba algo que otros griegos ya sospechaban: que la tierra era redonda; puesto que si fuera plana, en Alejandría no debería proyectarse ninguna sombra sobre el pozo al igual que en Siena.  Además, porque se nota la curvatura en el cielo, porque mientras mas uno viaja al norte hay estrellas y constelaciones que se ven cada vez mas arriba como la de Polaris, y otras que simplemente desaparecen en horizonte como la de Canopus.

Hechas estas observaciones a Eratóstenes se le ocurrió una brillante idea. El día 21 de junio al medio día en Alejandría tomó un palo y midió el ángulo de la sombra que se proyectaba sobre este y anotó que era una cincuentava parte de un circulo (en aquellos tiempos no existían las nociones de grados). La 50ava parte de un circulo (360 grados) equivale a 7.2 grados.

Entonces como ese mismo día a esa misma hora los rayos del sol caían verticalmente sobre Siena proyectando sombras de 0 grados sobre una vertical, entonces entre Siena y Alejandría había una distancia de 7.2 grados o la 50ava parte de la circunferencia de la tierra. (Eratóstenes asumió que la tierra era perfectamente circular).

Eratóstenes ya sabia de las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, que había una distancia estimada de 5,000 estadios entre ellas. Por lo tanto, simplemente multiplicó por 50. Esto es 250,000 estadios. El estadio era la unidad griega de longitud, que variaba de una localidad a otra entre 157.5 metros a 184.8 metros. El estadio utlizado por Eratóstenes fue el ático-italiano de 184.8 metros. Esto es 46,200 kms.

En las primera gráfica la maqueta esta inclinada pero en dirección al sol, no se produce sombra. En la segunda se inclino la maqueta pero manteniendola recta y la sombra que se produce en ambas es igual. En la tercera y cuarta gráfica  entonces se curva la maqueta dejando el primer palito en dirección al sol, y vemos como en el segundo palito la sombra es larga pero en el primero no hay.

                             

Debemos aclarar algo antes de continuar: ¿Cómo Eratóstenes midió el ángulo de la sombra que se proyectaba? Lamentablemente el libro escrito por el propio Eratóstenes: “Sobre las medidas de la tierra”, que nos brindaría detalles sobre sus descubrimientos; se perdió, al igual que pasó también con muchos otros escritos de la antiguedad; que no sobrevivieron a las destrucciones de la biblioteca de Alejandria (por maremoto, incendios de invasores) y de la cual Eratóstenes fue su tercer director. El astrónomo griego Cleómedes en su obra “sobre el movimiento de los cuerpos celestes” que es la principal fuente original a través de la cual conocemos de los descubrimiento de Eratóstenes, solo dice que este utilizó un gnómon, que es un palo o estilete vertical que proyecta su sombra sobre una superficie horizontal, pero no dice cómo midió la sombra que se proyectaba, pero a partir de esto solo hay dos maneras posibles de hacerlo: La primera y la que todos conocemos, es utilizando funciones trigonométricas. En este caso sería hallando el valor de la tangente, es decir, la medida de la sombra dividido entre la medida de la vara (cateto opuesto sobre cateto adyacente), y luego le sacamos la arcotangente ( tan-1) con la calculadora para obtener el ángulo de la tangente, y opcionalmente la llevamos a grados con el botón (.,,,) de la Casio. Pero las complejidades y abstractismo del cálculo diferencial e integral no estaban disponibles para aquella época.

En mi afán por resolver este misterio, descubrí o redescubrí una técnica sencilla pero olvidada, utilizando simplemente un compás. Simplemente Eratóstenes trazaría a escala en un plano (o en un papiro) la medida de la vara y de la sombra en el suelo y le trazaría la hipotenusa, luego voltearía el plano para comodidad por supuesto, quedando el lado opuesto a la hipotenusa (o la medida a escala del gnomon) como una recta horizontal e interpondría un compás con un lado en el vértice que se forma entre la hipotenusa y la medida del gnomon y trazaría un circulo alrededor. Luego en el punto en el que la hipotenusa intersecta con la circunferencia se coloca un lado del compás y el otro lado del compás se coloca más abajo en el punto en donde la circunferencia trazada toca con la recta horizontal. Dejamos el compás con esa misma medida y empezamos a medir sobre la circunferencia cuantas partes de ella equivalen. Pero Eratóstenes tampoco tuvo que haber utilizado un compás necesariamente; cualquier vertical que gire sobre su propio eje, formará un círculo perfecto.

Utilicé el programa “regla y compás” para construir digital y exactamente la circunferencia y los ángulos. Como podemos ver la mitad de la circunferencia que elaboré está dividida en 25 partes iguales de 7.2 grados.

 

Pueden interponer un transportador transparente o un compás sobre la pantalla y comprobarlo ustedes mismos.

 Abajo tenemos compases de la época greco-romana guardados en el museo británico.

 

Ahora tenemos un simple gnomon que utilizaría Eratóstenes y luego tres gnomons utilizados para marcar la hora (relojes solares).

                             

 

La medida de la circunferencia de la tierra, realizada por satélites avanzados, es de 40,008 kms aproximadamente. Si tomamos en cuenta la simpleza y rudimentaria, aunque ingeniosa técnica utilizada por Eratóstenes, la aproximación de su cálculo fue asombrosa. Solo se equivocó en 6,192 kms. Esto es un 15%.

 

Ahora bien, utilicemos las poderosas herramientas tecnológicas que poseemos hoy día, MapCrow y Google Map, y rehagamos el cálculo de Eratóstenes con medidas exactas a ver si su razonamiento era correcto.

 

La latitud es la distancia angular aproximada entre la línea ecuatorial y un punto determinado del planeta. Son las líneas horizontales que hay en un mapa. Se expresan en medidas angulares que varían desde los cero grados del ecuador hasta los 90 grados del polo Norte o los 90° del polo Sur.  Si trazamos una recta que vaya desde un punto cualquiera de la tierra hasta el centro de la misma, el ángulo que forma esa recta con el plano ecuatorial expresa la latitud de dicho punto.

Antes de continuar, hay 3 supuestos que debemos tomar en cuenta:

1) Suponemos que la tierra es perfectamente redonda.  Un grado de latitud no mide exactamente lo mismo en cada lugar, sino que varía ligeramente de 110,57 km en el ecuador hasta 111,70 km en los polos, por eso no podemos asumir que 7 grados entre Alejandria y Siena tendrán la misma distancia que 7 grados entre Alejandria y alguna ciudad de Turquía. Por eso nuestro resultado no podría ser nunca exactamente igual al que hicieron los avanzados satélites de millones de dólares.

2) Si hacemos la resta de las longitudes (las líneas verticales del mapa) hay una diferencia de 3 grados (Eratóstenes suponía que estaban en la misma longitud).

3) Otro pequeño error de Eratóstenes, es que realmente Siena no estaba ubicada exactamente sobre la línea del trópico de cáncer (los puntos donde los rayos del sol caen a la tierra verticalmente el 21 de junio). Hoy día esta a 72 kms (desde el centro de la ciudad). Pero debido a que las variaciones del eje de la tierra fluctúan de entre 22.1 y 24.5 grados en un período de 41 mil años, hace 2 mil años estaba ubicada a 41 kms  -Para calcular las coordenadas de la línea del trópico utilicé la aplicación de neoprogrammics.com y calculé los valores para el año -200.-

Veamos:

Si hacemos la resta de las latitudes, habría una distancia angular de 7.1106 o 7º 6′ entre ambas ciudades. Esto significa que la distancia entre Alejandría y Asuán sería una 50.6286ava parte de una circunferencia (360 grados). A Eratóstenes le dio una 50ava parte de una circunferencia que es 7.1997 o 7º 12′.

La distancia no es de 924 kms, sino de 843 kms. 81 kms de diferencia -Distancia aérea y hasta el centro de las ciudades.-

El cálculo corregido de Eratóstenes da como resultado 42, 662 kms. El error es de solo 2,654 kms o 6.6 %.

El razonamiento de Eratóstenes fue bastante correcto. Los 3 supuestos que hizo realmente no afectaron mucho el resultado, por lo que se puede considerar que fueron bastante válidos dada las limitaciones de aquella época.

Ahora vayamos a Daftlogic.com y calculemos la distancia entre la ciudad de Alejandría y un punto en el mapa en donde exista la misma longitud de la de Alejandría (29.9192) y que esté ubicada exactamente en la línea del trópico que es la latitud 23° 26′  o 23.4377.

 

Si restamos las coordenadas de Alejandría y de la línea del trópico de cáncer nos da una distancia angular de 7.7604, lo que significa una 46.3894ava parte de una circunferencia y multiplicados por los 863.876 kms esto nos da 40, 074. Impresionante! Solo 66 kms de diferencia (un 0,16%) del calculo que actualmente se aproxima tiene la tierra.

Si ajustamos ahora el trópico de cáncer a la posición en la que se encontraba en el año -200 A.C, entonces encontraremos la verdadera medida de la sombra que se proyectó en la vara de Eratóstenes en Alejandría el 21 de junio al medio día hace 2,200 años: 7.4815 que es 7° 29′. Si trazamos la medida de 7.4815 en nuestro programa informático esto hace 48.1 partes de una circunferencia. 48 partes de una circunferencia multiplicados por los 863.876 km de distancia entre Alejandría y la línea del trópico hace 41,561 kms. Así que entre los errores de Eratóstenes tendríamos que agregar 0.2818 que es 0° 17′ grados de equivocación en la medición del ángulo de la sombra. Esto porque con un lápiz, o una punta fina, es imposible distinguir entre 7.0 y 7.2 grados, y muy difícil entre 7.0 y 7.5 grados. Era de esperarse que las divisiones de la circunferencia de Eratóstenes pudieran tener un margen de error de hasta 4 partes de una circunferencia. Se equivocaría en dos partes demás, lo cual no está mal considerando los instrumentos.

150 años después de Eratóstenes, el matemático también griego Posidonio, utilizó un método similar al de Eratóstenes (también descrito por Cleómedes en su obra), pero en vez de utilizar al sol como referencia, utilizó a una estrella llamada Canopus (la segunda estrella más brillante en el firmamento). Se dio cuenta de que en Rodhas esta estrella apenas se divisaba sobre el horizonte, pero estando en Alejandría esa estrella se encontraba más arriba en el cielo. Midió la longitud del arco que se trazaba entre las dos posiciones de la estrella, seguramente utilizando un astrolabio, y supongo que restando la medición del ángulo de la estrella en el cielo de Alejandría menos el ángulo en cielo de Rodas, para así encontrar la distancia angular entre Rodas y Alejandría. Pero la medición de Posidonio fue incorrecta. Le dio una distancia de 7. 5 grados o 7º 30′; cuando en realidad como vemos en el mapa, es de solo 4.97. Su error en la medición del ángulo debió haber radicado en que el astrolabio realmente no era muy preciso (aun menos los astrolabios primitivos), por eso fue reemplazado por el sextante 1,500 años después. La distancia entre Rodhas y Alejandría en realidad representa una 72ava parte de una circunferencia y no una 48ava parte.

Si hacemos el cálculo con los datos correctos nos da 42,014 kms. El cálculo de Posidonio resultó en 28,968 kilómetros (28 % de error con respecto a la circunferencia real de la tierra). Fue esta medición y no la de Eratóstenes la que utilizó Tolomeo en su famosa obra  “Geographia”. Colón nunca leyó a Tolomeo, sino a otros autores de su epoca como Pierre de Ailly, quien basándose en el cálculo de Posidonio utilizado en Geographia, estimó la distancia entre las islas Canarias y Cipango (Japón). Pero Colón agregó otro error más al asunto, al suponer que Ailly hablaba de millas italianas cuando en realidad se refería a millas árabes (que son más largas). Colon creía que entre las islas Canarias y Cipango había unas 2,400 millas marinas, cuando en realidad había 10,700. Por suerte para el, se encontró un continente de por medio antes de llegar a Asia.

Este error en la medición de la circunferencia de la tierra ha sido seguramente el que más ha incidido en toda la historia de la humanidad. Si Colón hubiera sabido de la longitud de la circunferencia terrestre calculada por Eratóstenes, jamás hubiera realizado su viaje, pues ningún barco de aquella época podía almacenar agua y provisiones suficientes para permanecer tanto tiempo en altamar, y el descubrimiento de una ruta de ida y vuelta hacia América se hubiera retrasado quizá cientos de años.

 

Otras fuentes:

Eratosthenes of Cyrene

How Long Is a Stade?

Sobre el movimiento de los cuerpos celestes (en griego y en español)

Eratosthenes Got the Circumference of the Earth: El físico Klaus Kohl propone que Eratóstenes se pudo haber valido de compases sobre un scaphe, que era un reloj solar hemisférico. El razonamiento es el mismo, es decir, contar con un compás cuántas veces la inclinación del ángulo formado cabe en la circunferencia que le corresponde; solo que a Kohl no se le ocurre que esto se puede construir perfectamente en un plano.